Question

设点P（x，y）是圆x²+y²=1外一点，PS，PT是圆的两条切线，S，T是切点．则

PS

•

PT

的最小值为（　　）

• A．1
• B．-1
• C．3-2

  2

• D．2

  2

  -3

Answer 1

分析：利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PS，PT的长；利用向量的数量积公式表示出

PS

•

PT

，利用三角函数的二倍角公式化简函数，再通过换元，利用基本不等式求出最值．

解答：解：圆心为原点O，设PS与PO的夹角为a，则|

PS

|=|

PT

|=

1

tanα

，
故

PS

•

PT

=|

PS

||

PT

|cos2α=

1

tan2α

cos2α=

cos2α

sin2α

cos2α
=

1+cos2α

1-cos2α

cos2α，记cos2α=u，u∈[-1，1]
则

PS

•

PT

=

1+u

1-u

u=-

(u-1)2+3(u-1)+2

u-1

=-[（u-1）+

2

u-1

+3]=（1-u）+

2

1-u

-3
≥2

(1-u) 2 1-u

-3=2

2

-3，
故

PS

•

PT

的最小值为2

2

-3，
故选D

点评：本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．