Question

数列{a_n}中，已知a₁=a，且an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（Ⅱ）数列{a_n}能为等比数列吗？若能，试求出a满足的条件；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用已知条件和等差数列的定义即可得出；
（II）由已知可得

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，分a₁=a=1和a≠1两种情况讨论及利用等比数列对的定义即可得出．

解答：解．（Ⅰ）∵a₁=a，an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
∴a2+2a1=22，得到a₂=4-2a，
a3+2a2=23得到a₃=4a．
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，
解得a=

8

9

．
（Ⅱ）∵an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，
①当a=1时，an=2n-1，是以1为首项，2为公比的等比数列；
②故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

（a≠1）为首项，-1为公比的等比数列，
∴

an

2n

-

1

2

=(

a

2

-

1

2

)(-1)n-1，得：an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)(-1)n-1]．
{a_n}为等比数列?

an+1

an

为常数?a=1应舍去，也即当a≠1时不可能是等比数列．
综上可知：当且仅当a=1时，数列{a_n}为等比数列．

点评：主要考查学生构造数列的能力和对等比、等差数列定义的理解，稍难．