题目内容

在数列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{an+2}是等比数列；
（Ⅱ） 求数列{an}的前n项和Tn．
分析：（I）由an+1=2an+2可得an+1+2=2（an+2），可证
解（2）由（I）可得an=3•2n-1-2，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求
解答：（I）证明：∵an+1=2an+2
∴an+1+2=2（an+2）
∵a1=1
∴a1+2=3
∴数列{an+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列；
（2）解：由（I）可得an+2=3•2n-1
∴an=3•2n-1-2
∴Tn=（3•20-2）+（3•21-2）+…+（3•2n-1-2）
=3（1+2+22+…+2n-1）-2n
=3•
1-2n
1-2
-2n
=3•2n-2n-3．
点评：本题主要考查了利益构造证明等比数列，等比数列的定义及求和公式的应用，还要注意分组求和方法的应用．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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