Question

（文科）（1）若数列{a_n1}是数列{a_n}的子数列，试判断n₁与l的大小关系；
（2）①在数列{a_n}中，已知{a_n}是一个公差不为零的等差数列，a5=6．当a₃=2时，若存在自然数n₁，n₂，…，n_l，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比数列，试用t表示n₁；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_l，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…构成一个等比数列．求证：当a3是整数时，a₃必为12的正约数．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n1}是数列{a_n}的子数列，判断出n_t≥t
（2）①求出数列{a_n}的公差，利用等差数列的通项公式求出数列a_n，求出数列{a_n1}的公比；利用ant是数列{a_n}的第n_t项求出值同时是数列{a_n1}的第t项利用等比数列的通项公t表示n₁式求出值，两个方法求出的值相等，列出方程得到n_t=3^t+1+2．
②分别通过两个数列表示出同一个项an1，列出关于a₃，n₁的方程，据各个数的特殊性，证出结论．

解答：解（1）∵数列{a_n1}是数列{a_n}的子数列
∴n_t≥t；
（2）①因为a3=2，a5=6，所以公差d=

a5-a3

5-3

=2，
从而n_t≥ta_n=a₅+（n-5）d=2n-4，
又a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比数列，
所以公比q=

a5

a3

=3
所以ant=a5•3t=2•3t+1
又ant=2nt-4
所以2n_t-4=2•3^t+1
所以n_t=3^t+1+2
②因为n1＞5时，a3，a5，an1成等比数列，所以a3•an1=a52，即an1= 

a52

a3

=

36

a3

又{a_n}是等差数列，所以an1=a3+(n1-3)•

a5-a3

2

=a3+

6-a3

2

(n1-3)
所以

36

a3

=a3+

6-a3

2

(n1-3)即

36

a3

-a3=

6-a3

2

(n1-3)，
所以

36-a32

a3

=

6-a3

2

(n1-3)，因为6-a₃≠0
所以

6+a3

a3

=

n1-3

2

解得n1=5+

12

a3

．
因为n₁是整数，且n₁＞5所以

12

a3

是正整数，从而整数a₃必为12的正约数．

点评：在解决同一个项分别充当两个不同数列的项，关键是判断出其分别是两个数列的项数，然后利用不同的通项公式表示出其值，列出方程，找关系．