题目内容

若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有  ②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为

“理想函数”。给出下列四个函数中：⑴    ⑵   ⑶ 

⑷ ，能被称为“理想函数”的有_        _ （填相应的序号） 。

 

【答案】

（4）

【解析】依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，

⑴ 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；

⑵  为定义域上的偶函数，排除（2）；

 ⑶  定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；

⑷ ，的图象如图：

显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为 （4）

 

练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
1
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[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

（满分16分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件时，称为“友谊函数”，

[1] 对任意的，总有；  [2] ；

[3] 若，，且，则有成立。

请解答下列各题：

(1)若已知为“友谊函数”，求的值；

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.

（本小题满分14分）
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
① 对任意的，总有≥0； ②；
③若且，则有成立，并且称为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知为“友谊函数”，求的值；
（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.
（3）已知为“友谊函数”,且 ,求证:
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明?x∈（x1，x2），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对?x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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