Question

已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.
（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，.
（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.

Answer 1

解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.
理由是 ；
②是的一个二元基底.
理由是 ，
.               3分
（Ⅱ）不妨设，则
形如的正整数共有个；
形如的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.               8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *
假设为的一个4元基底，
不妨设，则.
当时，有，这时或.
如果，则由，与结论*矛盾.
如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.
综上，的最小可能值为5.                         14分

略