题目内容
设函数f(x)=
(m、n为常数,且m∈R+,n∈R).
(Ⅰ)当m=2,n=2时,证明函数f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)若f(x)是奇函数,求出m、n的值,并判断此时函数f(x)的单调性.
-2x+m | 2x+n |
(Ⅰ)当m=2,n=2时,证明函数f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)若f(x)是奇函数,求出m、n的值,并判断此时函数f(x)的单调性.
分析:(1)证明不是奇函数,只要证明:f(-x)≠-f(x),可得f(x)不是奇函数;
(2)利用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;利用单调性的定义即可判断
(2)利用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;利用单调性的定义即可判断
解答:证明(I)当m=2,n=2时,f(x)=
,函数的定义域为R
∴f(-x)=
=
=
,-f(x)=-
=
∴f(-x)≠-f(x)
则函数f(x)不是奇函数
(II)若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
∴
=-
∴
=
化简整理得(m-n)•22x+(m+mn-2)•2x+(m-1)=0,这是关于x的恒等式,
∴
∴m=1,n=1,f(x)=
=1-
设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1-
-1+
=
-
=
∵x1<x2
∴2x1-2x2<0
∴
<0即f(x1)<f(x2)
故函数f(x)单调递增函数
2-2x |
2+2x |
∴f(-x)=
2-2-x |
2+2-x |
2•2x-1 |
2•2x+1 |
2x-
| ||
2x+
|
2-2x |
2+2x |
2x-2 |
2x+2 |
∴f(-x)≠-f(x)
则函数f(x)不是奇函数
(II)若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
∴
-2-x+m |
2-x+n |
-2x+m |
2x+n |
∴
m•2x-1 |
n•2x+1 |
2x-m |
2x+n |
化简整理得(m-n)•22x+(m+mn-2)•2x+(m-1)=0,这是关于x的恒等式,
∴
|
∴m=1,n=1,f(x)=
1-2x |
1+2x |
2 |
1+2x |
设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1-
2 |
1+2x1 |
2 |
1+2x2 |
=
2 |
2x2+1 |
2 |
1+2x1 |
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵x1<x2
∴2x1-2x2<0
∴
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
故函数f(x)单调递增函数
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查转化思想.属于基础题.
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