题目内容

设函数f(x)=
-2x+m2x+n
(m、n为常数,且m∈R+,n∈R).
(Ⅰ)当m=2,n=2时,证明函数f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)若f(x)是奇函数,求出m、n的值,并判断此时函数f(x)的单调性.
分析:(1)证明不是奇函数,只要证明:f(-x)≠-f(x),可得f(x)不是奇函数;
(2)利用奇函数定义f(-x)=-f(x),再用待定系数法求解;利用单调性的定义即可判断
解答:证明(I)当m=2,n=2时,f(x)=
2-2x
2+2x
,函数的定义域为R
f(-x)=
2-2-x
2+2-x
=
2•2x-1
2•2x+1
=
2x-
1
2
2x+
1
2
-f(x)=-
2-2x
2+2x
=
2x-2
2x+2

∴f(-x)≠-f(x)
则函数f(x)不是奇函数
(II)若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
-2-x+m
2-x+n
=-
-2x+m
2x+n

m•2x-1
n•2x+1
=
2x-m
2x+n

化简整理得(m-n)•22x+(m+mn-2)•2x+(m-1)=0,这是关于x的恒等式,
m-n=0
mn+m-2=0
m-1=0

∴m=1,n=1,f(x)=
1-2x
1+2x
=1-
2
1+2x

设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1-
2
1+2x1
-1+
2
1+2x2

=
2
2x2+1
-
2
1+2x1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2
2x1-2x2<0
2(2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
<0即f(x1)<f(x2
故函数f(x)单调递增函数
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查转化思想.属于基础题.
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