Question

已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.

（1）  求椭圆的方程；
（2）  求点的轨迹的方程；
（3）  求证：过直线上任意一点必可以作两条直线
与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.

Answer 1

（1）；（2）；（3）直线经过定点（1,0）.

本试题主要考查了圆与直线，以及椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系的综合运用。
解：（1）依题意得，   ………………………………………………2分
解得，∴ ……………………………………………………………3分
椭圆的方程为  …………………………………………………………………4分
（2）解法1：设点T的坐标为(x,y).
当重合时，点坐标为和点，    …………………………………5分
当不重合时，由，得. ……………………………6分
由及椭圆的定义，， …………7分
所以为线段的垂直平分线，T为线段的中点
在中，， …………………………………………8分
所以有.
综上所述，点的轨迹C的方程是.   …………………………………9分
（3）  直线与相离，
过直线上任意一点可作圆的两条切线   …………10分
所以
所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上，  …………………………11分
其方程④      …………………………12分
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4X+ty -4=0      ………13分
显然无论t为何值，直线ef经过定点(1,0).          ………………14分