题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $数学公式$ （c为常数，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求证：数列{ $数学公式$ }是等差数列
（2）求c的值
（3）设b_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）证明：∵a_n+1= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；
（2）由（1）知数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，c为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n= $\text{[math]}$
∴a₂= $\text{[math]}$ ，a₅= $\text{[math]}$ ，
因为a₁，a₂，a₅成等比数列，
所以 $\text{[math]}$ ，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₅，不符合题意舍去，
故c=2；
（3）证明：由（2）知a_n= $\text{[math]}$ ，b_n=a_n•a_n+1= $\text{[math]}$
∴S_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
故S_n＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要证明数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列，即要证明 $\text{[math]}$ 是一个常数，对条件a_n+1= $\text{[math]}$ 取倒数即可证明结论；
（2）根据（1）的结论，可以求出数列{a_n}的通项公式，从而求得a₂，a₅，根据a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，可得 $\text{[math]}$ ，解此方程即可求得结果；
（3）根据（2）求得c的值，并代入b_n=a_n•a_n+1，求出数列数列{b_n}的通项公式，利用裂项相消法即可求得S_n，从而证明结论．
点评：本题考查等差数列的判定方法和裂项相消法求数列的前n项和，利用a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，求出c的值，是解题的关键，注意仔细审题，考查利用应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．