Question

（本小题满分13分）对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，则称是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”．

（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的；

（Ⅱ）若，，其中，是的控制数列，试用表示

的值；

（Ⅲ）在的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）；（Ⅲ）154．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列为1，3，3，5，可得；（Ⅱ）确定当时，总有时，总有．分类比较和的大小，即可得出结论．（Ⅲ）分别求出为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．

试题解析：（Ⅰ）; ; ．3分

（Ⅱ）因为，

所以．

所以当时，总有．

又，．

所以．

故时，总有．

从而只需比较和的大小．

（1）当，即，即时，

是递增数列，此时对一切均成立．

所以．

（2）当时，即，即时，

，，．

所以

．

综上，原式 9分

（Ⅲ）．

首项为1的数列有个；

首项为2的数列有个；

首项为3的数列有个；

首项为4的数列有个；

所以，控制阶数为2的所有数列首项之和． 13分．

考点：1．新定义；2．等差数列与等比数列．