Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可连接EO可利用中位线定理证得EO∥PC再结合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得证．
（2）先利用二面角的定义做出二面角然后再证明作出的二面角既是所求的平面角，而要做二面角最关键的是过其中一个面的一个顶点向另一个面作出垂线而此问的垂线根据题中的条件可证明出即为AO然后过O在平面OEB内作OF⊥BE于F连OF则∠AFO为二面角A-EB-O的平面角然后将线段AO，AF，OF放在三角形中计算出来即可求出二面角的正切值．

解答：解：（1）连接EO，则由于E为PA的中点，O为底面对角线的交点所以OE为△APC的中位线所以EO∥PC，
又PC⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD
∴平面EDB⊥平面ABCD-----------------------------------------------------（6分）
（2）ABCD为菱形，

AO⊥BO，AO⊥EO BO∩EO=O

 =＞AO⊥面EBO，
过O在平面OEB内作OF⊥BE于F，连OF，∠AFO为二面角A-EB-O的平面角，
tan∠AFO=

1 2 a

1 2 a× 3 2 a a

=

2 3

3

---------------------------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查了利用面面垂直的判定定理证明面面垂直和二面角的平面角的做法以及求二面角的一个三角函数值．证明的关键是要完全理解面面垂直的判定定理（主要找到EO⊥平面ABCD）而二面角的平面角的作出要完全根据二面角的定义（主要是过其中一个面的一个顶点向另一个面作出垂线而此问的垂线根据题中的条件可证明出即为AO），只要把握住这两点此题就迎刃而解了！