Question

若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}前n项的和，对任意正整数n，a_n=－，4B_n－12A_n=13n.

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）设有抛物线列C₁，C₂，…，C_n，…抛物线C_n（n∈N^*）的对称轴平行于y轴，顶点为（a_n，b_n），且通过点D_n（0，n²+1），求点D_n且与抛物线C_n相切的直线斜率为k_n，求极限.

（3）设集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}.若等差数列{C_n}的任一项C_n∈X∩Y，C₁是X∩Y中的最大数，且－265<C₁₀<－125.求{C_n}的通项公式.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵a1=－，an－an－1=－ ∴数列{an}是以－为首项，－1为公差的等差数列. ∴An= 由4Bn－12An=13n，得Bn= ∴bn=Bn－Bn－1=－ （2）设抛物线Cn的方程为y=a（x+）2－ 即y=x2+（2n+3）x+n2+1 ∵y′=2x+（2n+3），∴Dn处切线斜率kn=2n+3. ∴ （3）对任意n∈N*，2an=－2n－3，4bn=－12n－5=－2（6n+1）－3∈X ∴yX，故可得X∩Y=Y. ∵c1是X∩Y中最大的数，∴c1=－17 设等差数列{cn}的公差为d，则c10=－17+9d ∵－265<－17+9d<－125得－27<d<－12 而{4bn}是一个以－12为公差的等差数列. ∴d=－12m（m∈N*），∴d=－24 ∴cn=7－24n（n∈N*）