Question

若A_n和B_n分别表示数列｛a_n｝和｛b_n｝的前n项和，对任意正整数n，a_n =-,4B_n-12A_n=13n.

 

(1)求数列{b_n}的通项公式；

 

(2)设有抛物线列c₁、c₂、…c_n、…，抛物线c_n(n∈N)的对称轴平行于y轴，顶点为(a_n,b_n)，且通过点D_n(0，n²＋1），过点D_n且与抛物线c_n相切的直线斜率为k_n，求极限；

 

(3)设集合X=｛x｜x=2a_n,n∈N｝，Y=｛y｜y=4b_n,n∈N｝.若等差数列｛c_n｝的任一项c_n∈X∩Y, c₁是X∩Y中的最大数，且-265＜c₁₀＜－125，求｛c_n｝的通项公式.

Answer 1

①｛b_n｝的通项公式是b_n=-.

 

②设抛物线C_n的方程为y=a(x+)²-?

 

因为D_n(0，n²＋1)在此抛物线上，即得a=1，?

 

因此，C_n的方程为y= a(x+)²-.?

 

即：y=x²+(2n+3)x+n²+1?

 

∵y′=2x+(2n+3),?∴D_n处切线斜率k_n=2n+3

 

∴?

 

③对任意n∈N，2a_n=-3n-3    4b_n=-12n-5=-2(6n+1)-3∈X?

∴YX,故可得X∩Y=Y,?

 

∵C₁是X∩Y中的最大数，∴C₁=-17.?

 

设等差数列｛C_n｝的公差为d，则C₁₀=-17+9d

 

∵-265＜-17+9d＜-125得-27＜d＜-12?

 

∴d=-12m(m∈N)   ∴d=-24         ∴C_n=7-24n(n∈N).