Question

已知数列满足（）．
（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列不可能是等比数列；
（3）若，（），试求实数和的值，使得数列为等比数列；并求此时数列的通项公式．

Answer 1

（1）首项为，公差为；（2）证明见解析；（3），，．

试题分析：（1）这个问题可以用特殊值法，数列是等差数列，则前3项也成等差数列，利用它就可求出，或者先由已知求出通项公式，再与等差数列的通项公式比较求出，或者假设是等差数列，则代入已知，求出，然后与其通项公式比较，得出；（2）要证数列不是等比数列，只要证明不能成等比数列即可，但本题条件较少，可用反证法，假设它是等比数列，由成等比，求出，然后再求，看是否成等比，如果不成等比，则假设错误，命题得证；（3）数列为等比数列，则是常数，设，这是关于的恒等式，
，，于是有对应项系数相等，由此可求出，从而得到结论．
试题解析：（1）解法一：由已知，，   （1分）
若是等差数列，则，即，   （1分）
得，， 故．      （1分）
所以，数列的首项为，公差为．   （1分）
解法二：因为数列是等差数列，设公差为，则，
故，   （1分）
，又，所以有，   （1分）
又，从而．   （1分）
所以，数列的首项为，公差为．   （1分）
（2）假设数列是等比数列，则有，
即，      （1分）
解得，从而，，    （1分）
又．    （2分）
因为，，，不成等比数列，与假设矛盾，
所以数列不是等比数列．       （2分）
（3）由题意，对任意，有（为定值且），
即．     （2分）
即，   （1分）
于是，，   （1分）
所以，   （2分）
所以，当，时，数列为等比数列．   （1分）
此数列的首项为，公比为，所以．
因此，的通项公式为．    （1分）