题目内容

已知函数f（x）=3 $数学公式$ + $数学公式$ sinwx- $数学公式$ （w＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为 $数学公式$ ．
（ I）求ω的值及函数f（x）的值域；
（ II）若f（x₀）= $数学公式$ $数学公式$ ，x₀∈（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），求f（x₀+ $数学公式$ ）的值．

（ I）∵f（x）=3 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin?x- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cosωx+ $\text{[math]}$ sin?x
= $\text{[math]}$ sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）（ω＞0）
又S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ |BC|= $\text{[math]}$ π，
∴|BC|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则ω=2．
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），值域是[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；　　　5′
（ II）由f（x₀）= $\text{[math]}$ 得sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵x₀∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ＜2x₀+ $\text{[math]}$ ＜π，
∴cos（2x₀+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
则f（x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin[2（x₀+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ sin[（2x₀+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ [sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +cos（2x₀+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ .9′
分析：（ I）利用两角和与差的三角函数公式可求得f（x）= $\text{[math]}$ sin（ωx+ $\text{[math]}$ ），由S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ |BC|= $\text{[math]}$ π可求得|BC|，继而可求得ω，从而可得f（x）的解析式，可求函数f（x）的值域；
（ II）由f（x₀）= $\text{[math]}$ 可知sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由x₀∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）可求得cos（2x₀+ $\text{[math]}$ ），最后利用两角和的正弦即可求得f（x₀+ $\text{[math]}$ ）的值．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得f（x）的解析式是关键，属于难题．