Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为，，椭圆上的点到右焦点距离最小值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率为-2的直线交曲线于、两点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）设经过点的直线与曲线相交所得的弦为线段，求的面积的最大值（是坐标原点）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，；(3)

【解析】

（1）根据题意得到，，计算得到答案.

（2））设，，，设直线方程为，联立方程得到，，得到轨迹方程.

（3）设直线的方程是：，代入方程得到，根据韦达定理得到，得到，计算得到面积最值.

（1）椭圆的焦点为，，，

由.，则，故曲线的方程为.

（2）设，，，设直线方程为，

，，，∴，

，则，则，

∴线段的中点的轨迹方程是：，，

（3）设直线的方程是：，，

代入得.

设，，，，

则，

令，，

当，即时∴，

的面积的最大值为.