Question

已知正整数集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},B={a₁²,a₂²,a₃²,a₄²},其中a₁＜a₂＜a₃＜a₄,A∩B={a₁,a₄},且a₁+a₄=10，A∪B中所有元素之和为124，求A.

Answer 1

思路分析：如何由A∩B={a₁,a₄},a₁+a₄=10确定a₁,a₄呢？依题意，a₁是最小的正整数，且a₁,a₄必是某两数的平方，显然a₁=a₁²,进而求出a₄.知道了a₁,a₄,如何求a₂,a₃呢？由a₁=1,a₄=9知，3∈A.于是要对a₂=3或a₃=3进行讨论，这就需利用条件A∪B中所有元素之和为124.

解：因为A∩B={a₁,a₄},所以a₁,a₄必是某两个正整数的平方，而a₁＜a₂＜a₃＜a₄，显然a₁=a₁²,a₁=1,由a₁+a₄=10得a₄=9,从而3∈A.

①若a₂=3,依题意有,

1+3+a₃+9+a₃²+81=124,

解得a₃=5或a₃=-6(舍去）.

②若a₃=3,依题意有,

1+a₂+3+9+a₂²+81=124,

解得a₂=5或a₂=-6(舍去).

此时a₂=5＞a₃=3,与题设矛盾.

综上所述,A={1，3，5，9}.