Question

【题目】已知函数 .

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（Ⅱ）或

【解析】试题分析：（1）首先求函数的导数，再通分，得到 根据解不等式，得到函数单调区间；（2）首先求存在性命题的否定，即有成立，将不等式转化为恒成立，设 ，根据函数的导数，分 ，求得函数的最小值，令最小值大于等于0，求得的取值范围，再求其补集.

试题解析：（1）函数的定义域为，

1）当时，由得， 或，由得，

故函数的单调递增区间为和，单调减区间为

2）当时， ， 的单调增区间为

（Ⅱ）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”。即可转化为恒成立。

令，则只需在恒成立即可，

当时，在时， ，在时，

的最小值为，由得，

故当时， 恒成立，

当时， ， 在不能恒成立，

当时，取，有， 在不能恒成立，

综上所述，即或时，至少有一个，使成立。