Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设分别是椭圆的下顶点和上顶点， 是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于为线段的中点，直线与直线交于点为线段的中点， 为坐标原点，求证：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）证明见解析.

【解析】【试题分析】(I)依题意可知,将点代入椭圆方程,结合,解出的值,即求得椭圆的方程.(II) 设， ，则， ．将的坐标代入椭圆方程,求得的关系式.利用点斜式写出直线的方程,由此求得点的坐标,利用中点坐标求得点的坐标.代入,由此证得.

【试题解析】

（Ⅰ）由题设知焦距为，所以.

又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得

因为，解得，

故所求椭圆的方程是．

（Ⅱ）设， ，则， ．

因为点在椭圆上，所以．即．

又，所以直线的方程为．

令，得，所以．

又， 为线段的中点，所以．

所以， ．

因

，

所以,即．