Question

如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q，求证：PQ²=AC·BD.

Answer 1

思路点拨：欲证PQ²=AC·BD，只需证明AC∶PQ=PQ∶BD，图中没有产生比例中项的条件，需要通过过渡比来解决.连结PA、PB，利用弦切角定理，得到不相邻的两对直角三角形分别相似.

证明：连结PA、PB，如图所示.

∵CD切⊙O于P，∴∠1=∠2.

∵AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q,

∴∠ACP=∠PQB=90°.

∴△ACP∽△PQB.

∴AC∶PQ=AP∶BP.

同理，△BDP∽△PQA，

∴PQ∶BD=AP∶BP.

∴AC∶PQ=PQ∶BD，

即PQ²=AC·BD.

［一通百通］弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手.利用弦切角定理解题能够锻炼我们思维的广阔性和深刻性，希望同学们在解题时灵活运用.