Question

设函数f(x)=3sin(ωx+

π

6

)，ω＞0，x∈（-∞，+∞），且以

π

2

为最小正周期．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=-3，b=1，△ABC的面积为

3

2

  ，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

分析：（1）直接代入x=0，求f（0）；
（2）通过函数的周期，求出ω，即可求出f（x）的解析式；
（3）通过f（A）=-3，求出A，利用b=1，△ABC的面积为

3

2

，求出c的值，结合正弦定理，求

b+c

sinB+sinC

的值．

解答：解：（1）f（0）=

3

2

（2分）
（2）T=

2π

ω

=

π

2

 所以ω=4．
∴f（x）=3sin(4x+

π

6

)（6分）
（3）f（A）=-3，所以3sin(4A+

π

6

)=-3，4A+

π

6

=

3π

2

或

7π

2

，所以A=

π

3

或

5π

6

，
△ABC的面积为

3

2

，所以c=2，a=

3

；或c=2

3

，a=

19

，

b+c

sinB+sinC

=2R，2R=

a

sinA

=2，或2R=2

19

故答案为：2或2

19

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，三角形的面积的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．