Question

17．如图AB是圆O的直径，AF⊥AB，弦CD交AB、AF分别于E、F，交圆于点C．
（1）证明：AF•DA=AC•DF
（2）若圆的半径为2，OE=EB=$\frac{1}{2}$AF，ED=$\frac{3}{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）证明△CAF∽△ADF，即可证明AF•DA=AC•DF
（2）CE•ED=AE•EB，可得CE=2，AF²=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），即可求CF的长．

解答 （1）证明：∵AB是圆O的直径，AF⊥AB，
∴∠CAF=∠ADF，
∴△CAF∽△ADF，
∴$\frac{CA}{AD}=\frac{AF}{DF}$，
∴AF•DA=AC•DF
（2）解：∵圆的半径为2，OE=EB，ED=$\frac{3}{2}$，
∴CE•ED=AE•EB，即CE•$\frac{3}{2}$=3•1，∴CE=2
∵AF=2，AF是切线，
∴AF²=FC•FD，即4=FC•（FC+2+1），
∴FC=1．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查相交弦定理，切割线定理，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．