Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影， 即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角， 设F为AB中点，连结EF、FC， ∵D，E分别是CC1与A1B的中点， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心， ∴GE=DF， 在直角三角形EFD中，， ∵EF=1， ∴，于是， ∵， ∴， ∴， ∴A1B与平面ABD所成的角是。 （Ⅱ）， 又EF∩AB=F， ∴ED⊥面A1AB， 又， ∴平面AED⊥平面A1AB，且面AED∩面A1AB=AE， 作，垂足为K， ∴A1K⊥平面AED，即A1K是A1到平面AED的距离， 在中，， ∴点A1到平面AED的距离为。