Question

已知函数（，），．
（1）求函数的单调区间,并确定其零点个数；
（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
（3）证明不等式 （）．

Answer 1

（1）当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.
（2）
（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，
而所以当时， 即   放缩法来得到。

试题分析：解：（1）                 1分
则
                 2分
（i）若，则当时，；当时，
所以 为的增区间，为的减区间.        3分
极大值为
所以只有一个零点.
（ii）若，则当时，；当时，
所以 为的减区间，为的增区间.
极小值为              4分
所以只有一个零点.
综上所述，
当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；
当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.
5分
（2）
              6分
由在其定义域内单调递增，可知,恒成立.
则   恒成立.          7分
(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或 
8分
则 或
则 或
得 .
可以验证 当时在其定义域内单调递增
故 .                         9分
(法二)分离变量
因  （当且仅当，即时取到等号） 8分
所以 ， 则.
可以验证 当时在其定义域内单调递增
故                           9分
（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，
而
所以当时，
即                     10分
令 ，
则                    11分
则
所以 ，，  , ,,
以上个式子累加可得

12分
则
则           13分
则
故  （）．      14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数与不等式中的运用，属于中档题。