Question

如图所示，线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0)（m＞0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线.

（1）求此抛物线方程；

（2）若tan∠AOB=-1，求m的取值范围.

Answer 1

解：（1）当AB不垂直于x轴时，设AB方程为y=k(x-m),抛物线方程为y²=2px(p＞0).

由得ky²-2py-2pkm=0,

∴y₁y₂=-2pm.∴|y₁y₂|=2pm=2m.

∴p=1.当AB⊥x轴时，A、B分别为（m,)、(m,-)，由题意有2pm=2m,p=1，故所求抛物线方程为y²=2x.

（2）设A(,y₁)，B（,y₂），

由（1）知y₁y₂=-2m,y₁+y₂=,

∴|y₁-y₂|=

=.又tan∠AOB=-1,

k₁=,k₂=,

∴=-1，即y₁y₂+4=2|y₁-y₂|.

∴-2m+4=2.①

平方后化简，得m²-12m+4=.

∴m²-12m+4＞0.

∴m＜6-4或m＞6+4.

又由①知-2m+4＞0,∴m＜2.

∴m的取值范围为0＜m＜6-4且AB⊥x轴时，

y₁=2(-1),y₂=-2(-1),y₁y₂=-4(-1)²=-2m，tan∠AOB=-1符合条件.

故符合条件的m的取值范围为0＜m≤6-4.