Question

如图所示，线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线.

(1)求抛物线的方程；

(2)若tan∠AOB=-1，求m的取值范围.

Answer 1

解：(1)设所求抛物线方程为y²=2px(p＞0),直线AB的方程为x=ky+m.

    代入y²=2px,得y²-2pky-2pm=0.则y_ay_b=-2pm=-2m.

    ∴p=1.抛物线方程为y²=2x.

    (2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，把x=ky+m代入y²=2x，得y²-2ky-2m=0.

    ∴y₁+y₂=2k,y₁y₂=-2m.

    又y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,

    ∴k_OA=,k_OB=.

    ∵tan∠AOB=-1,

    ∴=-1.

    ∴y₁y₂+4=2(y₁-y₂),

    即-2m+4=2.

    ∴m²-12m+4=4k²≥0,0＜m≤2.

    ∴0＜m≤6-4.