Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，若当时， 的最大值为.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意的， ，不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意，得，对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的解析式；（2）令.令的最小值恒大于等于零，从而得到的最大值.

试题解析：

（1）由题意，得.

当，即时， 在时为单调递减函数，

所以最大值为.

当，即时，当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

所以的最大值为.

当时，即时， ， 在时为单调递增函数，

所以的最大值为.

综上得

（2）令.

①当时， ，

由，得，

所以当时， ；

当时， ，

故最小值为 .

故当且时， 恒成立.

②当，且时， .

因为，

所以单调递增，

故 .

令，

则，

故当时， 为减函数，

所以，

又，

所以当时， ，

即恒成立.

③当，且时，

，

因为，

所以单调递减，

故.

令，

则，

所以当时， 为增函数，

所以，

所以，即.

综上可得当时，“”是“成立”的充要条件.

此时.

令，

则，

令，得.

故当时， ；

当时， ，

所以的最大值为，

当且仅当， 时，取等号，

故的最大值为.