Question

在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．
（I）求动点P所在曲线C的方程；
（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程．
（II）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
解答：解：：（I）依据题意，有=（x+1，y），=（x-1，y），
∵，∴x²-1+2y²=1，
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是 +y²=1．
（II）因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l：y=-（x-1）．
联立方程组，得2x²-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=．
又 ++=，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（-1，-）、G（1，）．
若线段MN、GH的中垂线分别为l₁和l₂，则有l₁：y-=（x-），l₂：y=-x．
联立方程组，解得l₁和l₂的交点为O₁（，-）．
因此，可算得|O₁H|==，|O₁M|==．
所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O₁（，-），半径为 ．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键，属于难题．