Question

已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，满足

OP

=m

OA

+

OB

（m为常数）．
（1）如图所示，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；
（2）若m=2，求|

OP

|的取值范围；
（3）若

OA

•

OB

=-

1

3

，线段AB与OP交于点D，试求当△OPB为直角三角形时

OD

•

OA

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的减法运算，结合条件，即可得到结论；
（2）利用向量的加法运算，可得结论；
（3）分类讨论，利用向量的数量积运算，可得结论．

解答：解：（1）由题意，

OP

=

AB

=

OB

-

OA

∵

OP

=m

OA

+

OB

，∴m=-1；
（2）m=2，

OP

=2

OA

+

OB

    
∵单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，
∴1＜|

OP

|＜3；
（3）因为

OA

•

OB

=-

1

3

，所以cos∠BOA=-

1

3

  
所以cos∠BAO=cos∠ABO=

6

3

 
所以

OP

•

OA

=m-

1

3

所以①当∠OPB=90°时，∠POA=90°，所以

OD

•

OA

=0；
②当∠POB=90°时，因为cos∠BAO=cos∠ABO=

6

3

，所以tan∠OBA=

2

2

所以OD=

2

2

又因为cos∠BOA=-

1

3

，∠BOA-∠DOA=90°，所以cos∠DOA=

2 2

3

所以

OD

•

OA

=

2

3

．

点评：本题考查向量的运算，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．