Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；
（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；
（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，不等式f（x）＞1化为： ＞1，

∴ 2，化为： ，解得0＜x＜1，

经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）

（2）解：方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，∴（ +a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，

若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．

若a≠0，令△=1+4a=0，解得a= ，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．

综上可得：a=0或﹣

（3）解：a＞0，对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

∴ ﹣ ≤1，

∴ ≤2，

化为：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，

g′（t）= = = ≤ ＜0，

∴g（t）在t∈[ ，1]上单调递减，∴t= 时，g（t）取得最大值， = ．

∴ ．

∴a的取值范围是

【解析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为： ＞1，因此 2，解出并且验证即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，（ +a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，对a分类讨论解出即可得出．（3）a＞0，对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意可得 ﹣ ≤1，因此 ≤2，化为：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握指、对数不等式的解法(指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化)的相关知识才是答题的关键．