Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，则f（f（x））≤3的解集为（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． [-3，+∞）
• C． （-∞，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可求出f（f（x））≤3的解集．

解答 解：设t=f（x），
则不等式f（f（x））≤3等价为f（t）≤3，
作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$的图象，如右图，
由图象知t≥-3时，f（t）≤3，
即f（x）≥-3时，f（f（x））≤3．
若x≥0，由f（x）=-x²≥-3得x²≤3，解得0≤x≤$\sqrt{3}$，
若x＜0，由f（x）=2x+x²≥-3，得x²+2x+3≥0，
解得x＜0，综上x≤$\sqrt{3}$，
即不等式的解集为（-∞，$\sqrt{3}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查分段函数的应用，是中档题，利用换元法是解决本题的关键．