Question

13．已知△ABC中角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足$2asin（C+\frac{π}{6}）=b$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{4}，b-a=\sqrt{2}-\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinA=cosA，从而解得sinA=$\frac{1}{2}$．根据A为三角形内角，即可求得A的值．
（Ⅱ）根据已知由（Ⅰ）可得A=$\frac{π}{6}$．解得C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，由正弦定理可得b=$\sqrt{2}a$，结合已知解得a，b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足2asin（C+$\frac{π}{6}$）=b，
∴2asinCcos$\frac{π}{6}$+2acosCsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$asinC+acosC=b，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴由sinC≠0，可得：$\sqrt{3}$sinA=cosA，
∵sin²A+cos²A=sin²A+3sin²A=1，
∴sinA=$\frac{1}{2}$或sinA=-$\frac{1}{2}$（舍），∴sinA=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{5π}{6}$．
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{4}$，由（Ⅰ）可得A=$\frac{π}{6}$．解得：C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得：b=$\sqrt{2}a$，
又∵b-a=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$，解得：a=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}$，b=$\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{2}-1}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}$×$\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{2}-1}$×sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}-9+4\sqrt{6}-8\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力，属于中档题．