Question

已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足=，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先点的坐标，得到向量的坐标，代入=，求得坐标间的关系，再由|AB|=8求得曲线的轨迹方程．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆+=1的右焦点，设直线PM方程为x=my+4，再与椭圆方程联立，由韦达定理求得|y_P-y_Q|，然后由S_△OPQ=|OM||y_P-y_Q|建立函数模型求其最值．
解答：解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则=（x-a，y），=（-x，b-y），
∵=，∴∴a=x，b=y．
又|AB|==8，∴=1．
∴曲线C的方程为=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM方程为x=my+4，
由消去x得
（9m²+25）y²+72my-81=0，
∴|y_P-y_Q|==．
∴S_△OPQ=|OM||y_P-y_Q|=2×===≤=，
当=，
即m=±时，△OPQ的面积取得最大值为，
此时直线方程为3x±y-12=0．
点评：本题主要考查轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，以及所构造平面图形面积的最大，最小等问题．