Question

如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积． 
（2）证明：EF⊥面PAB．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥面ABCD，可得PA为四棱锥P-ABCD的高，由AP=AB，BP=BC=2，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．
（2）由PA⊥面ABCD可得PA⊥BC，由底面为矩形可得BC⊥AB，进而由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，结合线面垂直的第二判定定理和三角形中位线定理可得EF⊥面PAB

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB
在Rt△PAB中，AP=AB，BP=2，
得AP=AB=

2

又PA为四棱锥P-ABCD的高
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×2×

2

×2=

4 2

3

证明：（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC
又∵底面ABCD是矩形
∴BC⊥AB
又∵AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB
∴BC⊥平面PAB
又∴E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC，
∴EF⊥面PAB

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是求出棱锥的底面面积和高，（2）的关系是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化．