Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求EC与平面ABCD成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结BD交AC于O点，连结OE，利用矩形的性质和三角形中位线定理可得PB∥OE，再用线面平行判定定理即可证出PB∥平面MAC；
（II）取AD的中点F，连结EF、CF，可得EF为△PAD的中位线，得EF

∥

.

1

2

PA．结合PA⊥平面ABCD，得EF⊥平面ABCD，所以∠FEC是直线EC与平面ABCD成角．Rt△EFC中，算出CF和EF的长，利用正切的定义算出tan∠ECF=

2

4

，即得EC与平面ABCD成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）连结BD交AC于O点，连结OE，
∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点
可得在△PBD中，OE是中位线，∴PB∥OE
∵PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面MAC．
（II）取AD的中点F，连结EF、CF
∵△PAD中，EF为中位线，∴EF

∥

.

1

2

PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
因此，∠FEC是直线EC与平面ABCD成角
∵Rt△CDF中，DF=

1

2

AD=2，CD=AB=2
∴CF=

DF2+CD2

=2

2

∵Rt△EFC中，EF=

1

2

PA=1，
∴tan∠ECF=

EF

CF

=

2

4

即EC与平面ABCD成角的正切值是

2

4

．

点评：本题在四棱锥中证明线面平行，并求直线与平面所成角大小．着重考查了线面平行判定定理、直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．