Question

（2012•海淀区一模）已知函数f(x)=sinx+sin(x-

π

3

)．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f(A)=

3

2

，a=

3

b，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式及f（A）=

3

2

，求出sin（A-

π

6

）的值，由A的范围求出A-

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a=

3

b，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用三角形的边角关系得出A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出C的度数，判定出三角形ABC的形状．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x-

π

3

）=sinx+

1

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=

3

sin（x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：2kπ-

π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=

3

sin（A-

π

6

）=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

π

3

，又a=

3

b，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1

2

，
又a＞b，A=

π

3

，
∴B=

π

6

，
∴C=

π

2

，
则△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判定，涉及的知识有：正弦定理，正弦函数的单调性，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．