题目内容
已知函数
，其中
且
.
（1）求证：函数
在点
处的切线与总有两个不同的公共点；
（2）若函数在区间
上有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.
（1）详见解析；（2）实数
的取值范围是
．
解析试题分析：（1）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点，先求出函数在点处的切线方程，因此对函数求导得
，从而得
，再求出
，由点斜式即可得切线方程
，证切线与总有两个不同的公共点，即方程
有两个不同的解，即
有两个不同的解，由已知
，故方程存在两解，既得证．（2）若函数在区间上有且仅有一个极值点，只需
在区间上有且仅有一个解，且在解的两边异号，而
是二次函数，故只需
，即可求出
的取值范围．
（1）由已知可得. 1分
， 2分
又
，
在
处的切线方程为. 4分
令，整理得.
或
， 5分
， 6分与切线有两个不同的公共点. 7分
（2）
在
上有且仅有一个极值点，
在上有且仅有一个异号零点， 9分
由二次函数图象性质可得， 10分
即
，解得
或
， 12分
综上，的取值范围是. 13分
考点：导数的几何意义，函数的极值．
练习册系列答案
相关题目
，其中
为自然对数的底数.
的单调区间；
在点
（其中
）处的切线为
，
轴、
轴所围成的三角形面积为
，求
．
的递减区间；
上的最值．
在
处的切线的斜率为
.
的值及函数
的最大值；
．
，曲线
经过点
，
处的切线为
.
、
的值；
，使得
时，
恒成立，求
在
处的切线的斜率；
，求函数
在
上的最大值.
，
．
，讨论
在
内的单调性并求极值；
时，恒有
．