题目内容

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为 $数学公式$ 的等比数列，则|m-n|=________．

$\text{[math]}$
分析：根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析，四个根组成的首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于2，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为m、n，即可求出结果．
解答：∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0?x²-mx+2=0 ①或x²-nx+2=0 ②
设方程①两根为x₁，x₄，方程②两根为x2，x3，则，x₁x₄=2，x₁+x₄=m x₂x₃=2，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分别为这个数列的前四项，且x₁= $\text{[math]}$ ，x₄= $\text{[math]}$ =4，公比为2∴x₂=1，x₃=2
∴m=x₁+x₄= $\text{[math]}$ +4= $\text{[math]}$ ，n=x₂+x₃=1+2=3
故|m-n|=| $\text{[math]}$ -3|= $\text{[math]}$
点评：本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质，解题时要认真观察，熟练运用性质