Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析，四个根组成的首项为的等比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于2，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为m、n，即可求出结果．
解答：解：∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0?x²-mx+2=0 ①或x²-nx+2=0 ②
设方程①两根为x₁，x₄，方程②两根为x₂，x₃，则，x₁x₄=2，x₁+x₄=m  x₂x₃=2，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分别为这个数列的前四项，且x₁=，x₄==4，公比为2∴x₂=1，x₃=2
∴m=x₁+x₄=+4=，n=x₂+x₃=1+2=3
故|m-n|=|-3|=
点评：本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质，解题时要认真观察，熟练运用性质