Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数）

（1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围；

（2）若f（x）在处导数相等，证明：；

（3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）需满足恒成立，只需即可；（2）根据的单调性，构造新函数，并令，根据的单调性即可得证；

（3）将问题转化为证明有唯一实数解，对求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证．

；

令，则恒成立；

，；

的取值范围是；

（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；

；

令，；

则；

令，则；

；

；

（3）证明：，，要证明有唯一实数解；

当时，；

当时，；

即对于任意实数，一定有解；

；

当时，有两个极值点；

函数在，，上单调递增，在上单调递减；

又；

只需，在时恒成立；

只需；

令，其中一个正解是；

，；

单调递增，，（1）；

；

；

综上得证．