Question

【题目】以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，求点的直角坐标；

（2）设直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）.

【解析】

（1）求出曲线的普通方程，根据题意求出直线的方程，再将直线的方程与曲线的方程联立，即可求得点的坐标；

（2）设直线的方程为（其中为直线的斜率），求出直线与半圆相切时直线的斜率的值，设点，，，求出直线、的斜率，利用数形结合思想可求得直线的斜率的取值范围.

（1）由，所以，曲线的直角坐标方程为：，

点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，

直线与直线：平行，

直线的斜率，即的方程为，

由，得：．

即点的坐标为；

（2）将直线化为普通方程：（为直线的斜率），

当直线与半圆相切时，则有．

，或，

设点，，，则，．

由图象知，当直线与半圆相切时，则，此时.

因此，当直线与半圆有且只有一个公共点时，直线的斜率的取值范围是．