Question

5．梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，PD⊥面ABCD，点M是PD的中点，经过A，B，M三点的平面与PC交于N点．
（1）求证：点N是PC的中点；
（2）若PD=10，AD=3，DC=6，求三棱锥P-AMN的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AB∥MN，MN∥DC，利用点M是PD的中点，可得点N是PC的中点；
（2）三棱锥P-AMN的体积=三棱锥N-PAM的体积，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，AB?平面PDC，DC?平面PDC，
∴AB∥平面PDC，
∵经过A，B，M三点的平面与PC交于N点，
∴AB∥MN，
∴MN∥DC，
∵点M是PD的中点，
∴点N是PC的中点；
（2）解：∵PD⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PD⊥CD，
∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∵PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵MN∥DC，
∴MN⊥平面PAN，
∵PD=10，AD=3，DC=6，
∴三棱锥P-AMN的体积=三棱锥N-PAM的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×3×3$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．