题目内容

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，则椭圆的离心率等于
5
3
5
3
．
分析：根据题意可知∠F1PF2=90°，tan∠PF1F2=2，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用椭圆定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：解：依题意可知∠F1PF2=90°，|F1F2|=2c，
又因为tan∠PF1F2=2，
所以|PF1|=
5
5
|F1F2|=
2
5
5
c，|PF2|=
2
5
5
|F1F2|=
4
5
5
c，
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=
6
5
5
c，
所以e=
c
a
=
5
3
，
故答案为
5
3
．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质特别是椭圆定义的运用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）证明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2
设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
（2012•即墨市模拟）设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）
设-1＜a＜-
1
2
，则椭圆
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的离心率的取值范围是（　　）

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