Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，点E，F为PC，PA的中点．

（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；

（2）二面角E—BD—F的大小；

（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）CM与平面BDF不平行，详见解析

【解析】

（1）连接AC与BD，设交点为O，连接FO，证明平面ABCD，得到答案.

（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.

（3）假设存在，设，计算得到，所以不存在.

（1）证明：连接AC与BD，设交点为O，连接FO，

由已知E，O分别为PC，AC中点，可得EO//PA,

又因为平面ABCD，

所以平面ABCD，平面BDE

所以平面BDE⊥平面ABCD.

（2）以O为原点，以OB，OC，OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系

设AB=a，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，，则AC=a，

，，，，，，

则，.

设平面BFD的法向量为，

则有，即，即

令，则

又由（1）可知为平面BDE的法向量，

所以二面角E—BD—F的大小为

（3）因为点M在PB(端点除外)上，设，

则，，

所以CM与平面BDF不平行.