Question

1．已知函数f（x）=mlnx，g（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0）．
（1）当m=1时，求曲线E：y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；
（2）当m=1时，$k=\frac{f（x）}{（x+1）g（x）}$恰有一个实数根，求k的取值范围；
（3）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算切线的斜率，求出切线方程即可
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的最大值，从而求出k的范围即可；
（3）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调性即可．

解答 解：（1）当m=1时，曲线$y=f（x）g（x）=\frac{xlnx}{x+1}$，
$y'=\frac{{（{1+lnx}）（{x+1}）-xlnx}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{lnx+x+1}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
x=1时，切线的斜率为$\frac{1}{2}$，又切线过点（1，0），
所以切线方程为x-2y-1=0．
（2）问题转化为$\left\{\begin{array}{l}y=k\\ y=\frac{f（x）}{{（{x+1}）g（x）}}=\frac{lnx}{x}（{x＞0}）\end{array}\right.$的交点个数，
$y'=\frac{1-lnx}{x^2}$，令y′=0，解得：x=e，
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值$\frac{1}{e}$	递减

∴${y_{max}}=\frac{1}{e}$，且x→0时，y→-∞，x→+∞，y→0，
综上$k=\frac{1}{e}$或k≤0．
（3）$F'（x）=f'（x）-g'（x）=\frac{m}{x}-\frac{1}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{m{x^2}+（{2m-1}）x+m}}{{x{{（{1+x}）}^2}}}$，
当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞0时，令h（x）=mx²+（2m-1）x+m，△=1-4m，
当△≤0时，即$m≥\frac{1}{4}，h（x）≥0$，此时函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
当△＞0时，即$0＜m＜\frac{1}{4}$，方程mx²+（2m-1）x+m=0有两个不等实根x₁＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{1-2m}{m}=\frac{1}{m}-2＞2\\{x_1}{x_2}=1\end{array}\right.$，所以0＜x₁＜x₂.${x_1}=\frac{{（{1-2m}）-\sqrt{1-4m}}}{2m}，{x_2}=\frac{{（{1-2m}）+\sqrt{1-4m}}}{2m}$，
此时函数F（x）在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减．
综上所述，当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；
当$m≥\frac{1}{4}$，此时函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
当$0＜m＜\frac{1}{4}$，此时函数F（x）在区间$（{0，\frac{{（{1-2m}）-\sqrt{1-4m}}}{2m}}）$，$（{\frac{{（{1-2m}）+\sqrt{1-4m}}}{2m}，+∞}）$上单调递增；在$（{\frac{{（{1-2m}）-\sqrt{1-4m}}}{2m}，\frac{{（{1-2m}）+\sqrt{1-4m}}}{2m}}）$上单调递减．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．