Question

14．如图，三棱锥O-ABC中，平面OAC⊥平面OAB，OC⊥OA，且OA=OB=OC=2，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=$\frac{1}{3}$MP，PA=PB．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面POC
（Ⅱ）已知∠AOB=45°，求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析 （I）设AB的中点为H，连接OH，HP．利用等腰石家庄的性质可得AB⊥OH，AB⊥HP．于是AB⊥平面OHP，AB⊥OP．利用面面垂直的性质定理可得OC⊥平面OAB，于是AB⊥OC．可得AB⊥平面POC．
（II）由OM=$\frac{1}{3}$MP，可得V_A-PBC=V_P-ABC=3V_O-ABC．求出V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•OC$，即可得出．

解答 （I）证明：设AB的中点为H，连接OH，HP．
∵OA=OB，PA=PB，∴AB⊥OH，AB⊥HP．
又OH∩HP=H，AB⊥平面OHP，∴AB⊥OP．
∵平面OAC⊥平面OAB，且OC⊥OA，
∵OC⊥平面OAB，∴AB⊥OC．
又∵OP∩OB=O，∴AB⊥平面POC．
（II）解：∵OM=$\frac{1}{3}$MP，∴V_A-PBC=V_P-ABC=3V_O-ABC．
又OA=OB=OC=2，∠AOB=45°．
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•OC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴V_A-PBC=$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．