Question

直线l过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点，且与抛物线相交于A（x₁,y₁）和B（x₂,y₂）.

(1)求证：x₁x₂=,y₁y₂=-p²;

(2)若l的倾斜角为α，求证：|AB|=.

Answer 1

分析：设出直线方程，利用韦达定理解决.

证明：（1）若l的斜率存在，设l：y=k(x-)(k≠0)代入y²=2px,消去y整理得k²x²-(k²p+2p)x+=0，由韦达定理得x₁x₂=.

∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴,

∵y₁y₂＜0,∴y₁y₂=-p².

若l斜率不存在，x₁=x₂=,此时x₁x₂=,y₁y₂=-p²，结论也成立.

∴x₁x₂=,y₁y₂=-p².

（2）若l斜率存在，由（1）知x₁+x₂=.

∴|AB|=|AF|+|FB|=x₁-(-)+x₂-(-)=x₁+x₂+p=

.

若l斜率不存在，α=时，|AB|=2p，结论也成立.∴|AB|=.

点拨：涉及直线与抛物线相交问题在求解时应特别注意直线斜率不存在的情况，要记住过焦点的弦中有x₁x₂，y₁y₂为定值，弦长大于或等于2p.