Question

（2012•安徽模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=

1

2

c．
（Ⅰ）求

tanA

tanB

的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判断当tan（A-B）取最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式展开可求
（2）利用换元，结合基本不等式可求最大值取得的条件，从而可判断三角形的形状．

解答：解：（1）由acosB-bcosA=

1

2

c可得2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB=3sinBcosA⇒

tanA

tanB

=3（4分）
（2）设tanB=t，则tanA=3t且t＞0
tan（A-B）=

3t-t

1+3t2

=

2t

1+3t2

=

2

3t+ 1 t

≤

3

3

（10分）
此时t=

3

3

⇒B=

π

6

⇒A=

π

3

，故C=

π

2

，△ABC为直角三角形（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公、两角差的正切公式在解三角形中的应用，基本不等式在求解函数最值中的应用