Question

已知，．（n∈N^*，a为常数）
（1）若，求证：数列是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：．

Answer 1

证明：（1）∵，
∴，
∵∴，则 ，
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，化简得
∵，∴要证，只需证2ⁿ≥2n，
证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，
当n≥3时，
，
∴2ⁿ≥2n对n∈N^*都成立，n=1
∴．
证法二：用数学归纳法证明，
①当时，结论显然成立；n=k+1，
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2^k≥2k，
当n=k+1时，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），，
∴当时结论也成立
综合①、②知，对n∈N^*都成立．
分析：（1）由，知，由，知，由此能够证明数列是等比数列．
（2）由（1）知，即，由，知要证，只需证2ⁿ≥2n，由此能够证明证：．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．