题目内容
已知函数f（x）=1+ln
（0＜x＜2）．
（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义Sn=
f(
)=f(
)+f(
)+…+f(
)，其中n∈N*，求S2013；
（3）在（2）的条件下，令Sn+1=2an，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
| x |
| 2-x |
（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义Sn=
| 2n-1 |
 |
| i=1 |
| i |
| n |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2n-1 |
| n |
（3）在（2）的条件下，令Sn+1=2an，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）根据函数图象关于点对称的公式，设存在满足条件的点M（a，b），则f（x）+f（2a-x）=2b，代入解析式化简整理，即可解出a=b=1；
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，将x=
（i=1，2，…，2n-1）代入函数式，并采用倒序相加的方法算出2Sn=2（2n-1），化简得Sn=2n-1，从而算出S2013=2×2013-1=4025．
（3）由（2）中Sn=2n-1，结合题意算出an=n．原不等式等价于2n •nm＞1，两边取以e为底的对数，整理得
＞-
恒成立，可得(
)min＞-
．然后设g（x）=
（x＞0），利用导数研究出函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．结合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值为g（3）=
，由此可得
＞-
，解之即可得到实数m的取值范围．
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，将x=
| i |
| n |
（3）由（2）中Sn=2n-1，结合题意算出an=n．原不等式等价于2n •nm＞1，两边取以e为底的对数，整理得
| n |
| lnn |
| m |
| ln2 |
| n |
| lnn |
| m |
| ln2 |
| x |
| lnx |
| 3 |
| ln3 |
| 3 |
| ln3 |
| m |
| ln2 |
解答：解：（1）假设存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q
也在函数y=f（x）的图象上，则函数y=f（x）图象的对称中心为M（a，b）．
由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln
+1+ln
=2b，
即2-2b+ln
=0对任意0＜x＜2恒成立，所以
，解得a=b=1；
∴存在点M（1，1），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上；（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2．
令x=
，则f（
）+f（2-
）=2（i=1，2，…，2n-1）．
∵Sn=f(
)+f(
)+…+f(
)…①，
∴Sn=f(
)+f(
)+…+f(
)+f(
)②，
由①+②得2Sn=2（2n-1），可得Sn=2n-1．（n∈N*）
所以S2013=2×2013-1=4025．
（3）由（2）得Sn=2an-1=2n-1，所以an=n．
∵当n∈N*且n≥2时，2an•(an)m＞1等价于2n •nm＞1，即
＞-
．
所以当n∈N*且n≥2时，不等式
＞-
恒成立，即(
)min＞-
．
设g（x）=
（x＞0），则g'（x）=
．
当0＜x＜e时，g'（x）＜0且当x＞e时，g'（x）＞0
∴函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．
因为e∈（2，3），且g（2）=
＞g（3）=
，
所以当n∈N*且n≥2时，g（x）的最小值为g（3）=
，
即(
)min=
＞-
，解之得m＞-
．
所以实数m的取值范围是（-
，+∞）．
也在函数y=f（x）的图象上，则函数y=f（x）图象的对称中心为M（a，b）．
由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln
| x |
| 2-x |
| 2a-x |
| 2-2a+x |
即2-2b+ln
| -x2+2ax |
| -x2+2ax+4-4a |
|
∴存在点M（1，1），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上；（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2．
令x=
| i |
| n |
| i |
| n |
| i |
| n |
∵Sn=f(
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2n-1 |
| n |
∴Sn=f(
| 2n-1 |
| n |
| 2n-2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 1 |
| n |
由①+②得2Sn=2（2n-1），可得Sn=2n-1．（n∈N*）
所以S2013=2×2013-1=4025．
（3）由（2）得Sn=2an-1=2n-1，所以an=n．
∵当n∈N*且n≥2时，2an•(an)m＞1等价于2n •nm＞1，即
| n |
| lnn |
| m |
| ln2 |
所以当n∈N*且n≥2时，不等式
| n |
| lnn |
| m |
| ln2 |
| n |
| lnn |
| m |
| ln2 |
设g（x）=
| x |
| lnx |
| lnx-1 |
| (lnx)2 |
当0＜x＜e时，g'（x）＜0且当x＞e时，g'（x）＞0
∴函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．
因为e∈（2，3），且g（2）=
| 2 |
| ln2 |
| 3 |
| ln3 |
所以当n∈N*且n≥2时，g（x）的最小值为g（3）=
| 3 |
| ln3 |
即(
| n |
| lnn |
| 3 |
| ln3 |
| m |
| ln2 |
| 3ln2 |
| ln3 |
所以实数m的取值范围是（-
| 3ln2 |
| ln3 |
点评：本题着重考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数图象的对称中心研究、利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立的讨论等知识点，属于难题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
，g（x）=1+
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（ ）
| 1 |
| |x| |
| x+|x| |
| 2 |
| A、（-∞，-1）∪（0，1） | ||||
B、(-∞，-1)∪(0，
| ||||
C、(-1，0)∪(
| ||||
D、(-1，0)∪(0，
|